La maintenance de nos animaux aquatiques impose de leur offrir la meilleure eau. Celle-ci doit subir des traitements que l’on doit bien souvent réaliser dans une cuve technique annexe. Dès lors, il devient nécessaire de mettre en place un circuit d’eau, d’une part pour alimenter l’aquarium principal (circuit d’admission) et d’autre part pour l’évacuer (circuit d’évacuation) vers la cuve technique.

Avant de procéder à la réalisation de ce circuit (partie. 3), il nous faut calculer ses caractéristiques d’écoulement et vérifier qu’elles sont conformes aux impératifs c’est le dimensionnement (partie. 2). Cette vérification impose de définir les données (partie 1), c’est à dire les contraintes imposées ou choisies nécessaires au calcul.

1 : Données de calcul – 2 : Dimensionnement – 3 : Réalisation

1. Processus de calcul

Certaines données de calcul sont imposées par le contexte de l’installation : l’environnement de l’aquarium, le fluide considéré, et puis d’autres données, choisies selon les objectifs d’écoulement (débit, taux de remplissage) et les options de canalisation possibles (diamètre, longueur, matériau…).

Le dimensionnement consiste à déterminer les dimensions de la canalisation propres à répondre aux objectifs d’écoulement, notamment le débit du fluide. Pour mieux comprendre l’interaction des données dans le calcul, le synoptique (figure 2) représente le processus général de ce dimensionnement.

Toutes ces données interfèrent les unes sur les autres et nécessitent parfois des recalculs (itérations) qui rendent la démarche parfois complexe. Nous aborderons donc, pas à pas, les composantes de ces calculs en s’attardant sur les situations spécifiques à un aquarium et, pour mieux les comprendre, ce sera aussi l’occasion de nous remémorer quelques notions simples de physique.

2. Données sur l’environnement

2.1. Attraction terrestre : gravité

"Ce gars là est grave", d’autres diraient de lui qu’il est lourd. C’est aussi tout naturellement que le Grec Aristote a associé à la gravité "barus" (qui a donné gravis en latin) signifiant lourd, à sa première observation d’un objet qui tombe vers le centre de la terre. Newton nous a expliqué plus tard que la terre ne fait pas exception et que tout objet (terrestre et céleste) formant une masse, exerce une attraction sur les autres, pour peu qu’ils se trouvent dans un espace relativement proche, le champ gravitationnel. Cette attraction est une accélération, donc exprimée en m/s². Sur terre, la gravité terrestre se nomme g et vaut 9,81 m.s^-2.

2.2. Force et pression

2.2.1. Force

L’interaction de la masse d’un objet sur la masse d’un autre, s’appelle force. Une force F est le produit de sa masse m par une accélération et s’exprime en newton (1 N = 1 kg.m.s^-2). Ainsi, tout corps est soumis à une ou plusieurs forces, qu’elles agissent à distance ou par contact.

Parmi les forces à distance il en est une, particulière : le poids. Le poids P (Fig. 3a) d’un corps de masse m est la force de pesanteur exercée par l’attraction terrestre g sur cette masse. Elle est donc verticale, orientée de haut en bas, appliquée au centre de gravité de la masse et d’intensité selon la formule 1.

A des forces d’action d’un corps (1) sur un corps (2), s’opposent des forces de réaction inverses, du corps (2) sur le corps (1). Lorsque le bilan des forces n’est pas nul la force résultante génère le mouvement, comme la chute d’une goutte d’eau (fig. 3a). Lorsque le bilan de toutes ces forces est nul, le corps (1) est dans une situation d’équilibre statique, comme un seau d’eau suspendu à un crochet (fig. 3b).

On peut toujours décomposer une force en d’autres et ce, quels que soient les milieux (solides, liquides….).
La figure 4 montre l’action d’un corps 1 au contact d’un corps 2. Le corps 1 exerce une force F sur élément de surface S à leur interface. La force F peut être décomposée en une composante normale F_N , perpendiculaire à la surface d’appui, et une composante tangentielle F_T parallèle à la surface d’appui. La composante normale assure le contact entre les deux corps, la composante tangentielle représente la force de mouvement de 1 par rapport à 2, parallèle à la surface de contact. Si le corps 1 est de l’eau et 2 un tube PVC, on tient là une forme des pertes de charges (d’énergie) lors de l’écoulement dans une canalisation.

2.2.2. Pression

Lorsque la force ne s’applique pas localement mais se répartit sur une surface, on parle de pression (formule 2).

C’est le cas des liquides qui sont par nature déformables. Les efforts F qui leurs sont appliqués se répartissent sur une surface S . La surface (fig. 4) peut être un élément du conduit ou un élément de ce liquide, ainsi chaque élément d’un fluide en équilibre statique subit une pression qui s’exerce de toutes parts.

Dans le système international d’unités (SI), la pression s’exprime en Pascal [Pa] ou [kg.m^-1.s^-2]. Cependant de nombreuses unités dérivées ont cours : on l’exprime parfois par rapport à la pression atmosphérique [atm] ; en aquariophilie, on utilise souvent le mètre de colonne d’eau [mCE] ou mètre de fluide [mCF]. Attention : si un mètre d’eau exprime une distance, un mètre de colonne d’eau exprime une pression. Dans cet article, les formules adoptent une expression qui utilise la pression en mCE, une unité très "parlante". L’encadré ci-dessus permet de faire la relation avec d’autres unités.

Pression absolue : l »attraction terrestre se répercute sur chaque élément de masse d’eau, en une pression absolue p_abs, résultant des effets cumulés des masses qu’il supporte : celle de d’air (pression atmosphérique p_atm,) et celle du liquide (pression hydrostatique P_rel.) (fig. 5).

Pression atmosphérique p_atm  : c’est la pression exercée par la masse de la colonne d’air au dessus d’un élément de liquide. L’air étant un fluide compressible, se comportant comme un gaz parfait, la pression atmosphérique varie en fonction de l’altitude, la température… En ce qui nous concerne, les conditions étant stables et sans incidence sur les résultats, nous pouvons utiliser la pression atmosphérique au niveau de la mer 101325 Pa, à sa valeur arrondie p_atm  = 10⁵ Pa.

Pression hydrostatique p_hyd : c’est la pression au sein d’un liquide en équilibre statique, due à son propre poids. Chaque élément de ce liquide, de surface S, supporte le poids P de la colonne d’eau au-dessus de lui, sous forme de pression p_hyd  (p_hyd = P/S). Cette relation met en jeu la masse m de la colonne d’eau et la gravité g (P = m . g). La masse m étant liée au volume et à la masse volumique du liquide (m = ρ . V) c’est à dire à la hauteur de la colonne d’eau h et la surface (m = ρ.S.h), la formule 4 définit la relation finale pour p_hyd.

De la même manière, la différence de pression hydrostatique ∆p_hyd entre deux points 1 et 2 à l’intérieur du fluide hydraulique statique (fig. 6), dépend de la hauteur h (formule 4).

Autrement écrit, la pression p₂ d’un liquide en équilibre statique est constante à même profondeur h de la surface (fig. 6) (formule 5) :

Cette pression est la même (Fig. 7), quelle que soit l’orientation de la surface élémentaire analysée, c’est le Principe de Pascal, et quelle que soit la forme du contenant. C’est le Paradoxe hydrostatique. C’est ainsi, que cette surface élémentaire soit au sein du fluide ou sur une paroi du contenant.

3. Données sur le liquide : l’eau

3.1. L’eau, fluide incompressible

Avant d’aborder les caractéristiques nécessaires au calcul de l’écoulement, il convient d’en évoquer deux que l’on oublie, parce déjà intégrées dans les formules usuelles :

• L’eau est un fluide : comme tous les fluides, elle est constituée d’un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres, de manière désordonnée. C’est donc un élément matériel continu qui peut s’écouler, c’est à dire subir des grandes déformations, même sous l’effet de petites forces, en épousant la forme de son contenant.
• l’eau est incompressible : contrairement à un gaz, l’eau est incompressible. Pour être plus précis, sa compressibilité est extrêmement faible : c = 5.04.10^-10 Pa^-1 à 0°C et négligeable. Cette incompressibilité, que nous ne développerons pas plus, est cependant de première importance dans l’analyse des écoulements puisqu’elle permet d’affirmer que la même quantité de notre fluide favori entrant dans le circuit de l’aquarium… en sort, et dans le même temps. Un postulat bien pratique pour le calcul futur des débits. Oui, le débit d’une canalisation d’évacuation en sortie d’aquarium est celui de la pompe d’alimentation.

Le comportement d’un fluide dépend de nombreuses propriétés intrinsèques. Voyons les caractéristiques physiques de l’eau, douce ou salée, qui interviennent dans les calculs d’écoulements qui nous intéressent.

3.2. Température

La température influe sur les caractéristiques des fluides (air, eau) et leur comportement. En toute logique on utilise les valeurs à la température du biotope envisagé.

3.3. Salinité

La salinité, notée S, sans unité, traduit le taux de sels dissous. Elle est quasi nulle dans les rivières (quasi parce que la situation n’est pas si simple) et peut atteindre des taux extrêmes dans les lacs ou les mers fermées où la vie peine à se développer. Dans les biotopes marins qui nous intéressent S varie de 30 en Atlantique à 40 en mer Rouge. la salinité influe sur d’autres caractéristiques essentielles : la masse volumique et la viscosité.

3.4. Masse volumique

La masse volumique (en anglais : density) caractérise la masse d’un matériau par unité de volume (formule 6). On l’a vu, c’est cette masse qui va engendrer les forces de gravité que nous utiliserons. Notée ρ (rhô), dans le système international (S.I.) elle s’exprime en kilogramme par mètre cube (kg/m³).

A l’altitude zéro, à 25°C, la masse volumique de l’eau douce est 997 kg/m³, celle de l’eau de mer varie de 1020 à 1030 kg/m³. Cette dernière dépend de sa salinité S, de la pression p et de la température T, ces paramètres interviennent de manière très inégale dans nos calculs. Voyons comment et… relativisons.

3.5. Viscosité

La viscosité est la propriété qui traduit la résistance d’un fluide à son déplacement (on parle alors de fluide réel, en opposition au fluide parfait, sans viscosité, parfois utilisé dans les calculs). Elle est due aux frottements qui s’opposent au glissement des couches fluides les unes sur les autres. Les phénomènes dus à la viscosité ne se produisent que lorsque les fluides sont en mouvement ; lorsque la viscosité augmente, la capacité du fluide à s’écouler diminue. On caractérise la viscosité par la viscosité dynamique ou la viscosité cinématique, en relation l’une avec l’autre.

Viscosité dynamique

En mécanique des fluides, la viscosité dynamique est notée η (êta), parfois μ (mu). C’est une donnée connue, indispensable pour nos calculs. Dans le système international (SI), l’unité est le Pascal seconde (Pa.s) : 1 Pa·s = 1 kg.m^-1.s^-1.

Mais de quoi s’agit-il ? Le fluide est constitué de molécules (un agencement d’atomes) plus ou moins longues. Ces dernières sont maintenues entre-elles par des forces intermoléculaires, celles qui entretiennent la phase liquide. Ces forces de liaison étant peu puissantes (moins que celles des solides ou celles entre les atomes de la molécule elle-même). Les molécules du liquide, peuvent donc glisser les unes le long des autres, de manière plus ou moins ordonnée, permettant au fluide d’épouser la forme de son contenant. La molécule en se déplaçant, tire tangentiellement ses voisines proches, lesquelles opposent une certaine résistance. Ainsi, la viscosité est la relation qui existe entre les forces résistantes d’une part, et d’autre part leur surface, leur vitesse et leur éloignement.

On peut retenir que :

• La viscosité est représentative des frottements visqueux (internes). Elle est à l’origine de déperdition d’énergie (pertes de charges régulières) dans les écoulements. Son impact sur les pertes d’énergie dépend de la section de la conduite. Il est proportionnel à la longueur du conduit et la perte de charge décroit donc régulièrement le long de la canalisation. La viscosité entre dans la définition d’un coefficient de perte de charge régulière λ (lambda) que l’on abordera ultérieurement.
• Elle est d’autant plus importante que la surface moléculaire est grande (longueur des molécules, agencement, agglomération…).
• La viscosité d’un liquide tend généralement à diminuer lorsque la température augmente, à l’inverse des gaz. Celle de l’eau douce, évolue de 9 % entre 25 et 30 °C (tableau 1).
• la viscosité est d’autant plus importante que la vitesse relative des molécules est importante ; Ainsi, dans la section d’un écoulement, il existe un profil de répartition des vitesses (Fig. 8 ), croissant depuis la surface jusqu’à atteindre une valeur maximale au plus loin (le centre du tuyau, la surface d’un court d’eau). On utilise la vitesse moyenne d’écoulement pour le calcul des régimes d’écoulement et du débit. La vitesse proche de la surface du conduit est ainsi fortement ralentie dans une zone nommée couche limite. Elle est même nulle à son contact (du fait également de la rugosité). On retient déjà que l’impact de cette couche limite (perte de charge) diminue quand le diamètre du conduit augmente.
• La viscosité est d’autant plus faible que les molécules sont espacées ; au-delà d’une certaine distance, il y a séparation de la matière.
• La viscosité est sans relation avec la densité : elle ne s’accroît pas nécessairement avec la densité  ; par exemple, l’huile est nettement plus visqueuse et moins dense que l’eau.

Viscosité cinématique

On exprime également la viscosité par la viscosité cinématique ν (lettre grecque nu). C’est le rapport de la viscosité dynamique et de la masse volumique.

3.6. Tensions interfaciale et superficielle

La tension interfaciale n’apparait pas dans les calculs d’écoulement, simplement parce que l’on considère le fluide comme étant toujours le même. En est-il toujours ainsi dans nos aquariums ?

On l’a vu, chaque molécule du fluide exerce des forces d’attraction sur les molécules voisines. Au sein du même fluide, homogène, ces forces s’équilibrent. Il en autrement à l’interface avec un autre fluide non miscible où les molécules se repoussent. Les molécules ne sont plus soumises à l’action de forces symétriques, puisqu’elles ne sont plus entourées symétriquement par d’autres molécules de même nature. Ainsi la résultante des forces moléculaires n’est plus nulle, elle génère des tensions qui tendent à séparer les phases de fluides différents (fig. 9).

Tension superficielle : on parle de tension superficielle lorsque les forces cohésives se situent à la surface du liquide (contact liquide/gaz ou liquide/solide). Cette tension est à l’origine des phénomènes de capillarité. La tension superficielle air/eau est faible (0,0724 N/m à 20°C) et le PVC possède également une très faible énergie de surface. Ses effets ne sont pas importants dans les écoulements d’eau et il n’y a pas lieu de la prendre en compte, sauf dans le cas de très petites sections qui déborderaient du cadre de cet article.

Tension interfaciale : dans ce cas, les forces se situent au sein du liquide, entre les molécules de natures différentes (fig. 8 : points verts et points bleus), c’est le principe des agents tensioactifs.

4. Données sur la canalisation

4.1. Longueur, hauteur… déclivité

La longueur de la canalisation et la hauteur (selon le cas, entre entrée et sortie ou entre les surfaces des fluides), sont fixées par l’emplacement de la cuve technique par rapport à au bac principal. Elles s’imposent bien souvent à l’aquariophile.

Le rapport de la hauteur H sur la longueur L de la canalisation détermine sa déclivité J qui forme un angle α par rapport à l’horizontale. On parle bien de déclivité (définie par le sinus de l’angle α) et non de pente (habituellement définie par la tangente de l’angle).

4.2. Diamètre (interne)

Le diamètre est parfois une donnée connue lorsqu’on cherche le débit maximum possible en évacuation gravitaire, ou une inconnue lorsqu’on cherche le diamètre approprié à un débit imposé. Nous verrons plus loin les deux approches de calcul. Bien entendu, le diamètre utilisé est à choisir parmi les diamètres commerciaux.

4.3. Matériau, rugosité

Matériau

PVC rigide, souple, PE lisse ou annelé… le matériau de la tuyauterie n’a pas d’importance sur les écoulements. Il est pourtant nécessaire de le connaitre afin d’utiliser la plage de rugosité qui lui est associée.

Rugosité absolue

La rugosité des surfaces est une des causes de pertes d’énergies comme on va le voir. La rugosité ε (epsilon) de l’hydraulicien n’a pas grand-chose à voir avec celle du mécanicien. C’est une grandeur issue d’expériences et ne représente aucune propriété physique spécifique. Elle exprime une combinaison de caractéristiques (profondeur, densité et forme) des aspérités, propres à servir les modèles de calculs. Cette grandeur trouve son origine dans l’indice ks (s pour sand) issu des travaux de Nikuradsé qui, en 1932, a simulé des rugosités à partir de sables de granulométries différentes. Le coefficient actuel ε exprimé en millimètre, a évolué pour s’étendre à de nombreux matériaux. Il est normalement fourni par les fabricants ou obtenu dans des tables, pour différents stades d’usure.

Rugosité relative

Les formules utilisent parfois la rugosité relative ε/D_i, sans dimension, exprimée par rapport au diamètre intérieur Di du conduit, ou du diamètre hydraulique D_h (abordé plus loin) quand ce dernier est partiellement rempli. La rugosité a un impact négligeable en présence de régimes laminaires mais il est d’autant plus important que le régime est turbulent. Autrement dit, en présence de vitesses importantes et de petits diamètres dont le ratio périmètre mouillé sur section mouillée, est proportionnellement plus important.

La rugosité des parois influe sur l’écoulement. Son impact sur les pertes d’énergie dépend de la section de la conduite. Il est donc proportionnel à sa longueur et la charge (énergie) décroit donc régulièrement le long de la tuyauterie. Le coefficient de rugosité ε
entre dans la définition d’un coefficient de perte de charge régulière λ (lambda) que l’on abordera ultérieurement.

4.4. Singularités

On appelle singularité les accessoires autres que les portions droites de conduits qui composent la canalisation : coudes, connexions en T, en Y, entrée et sortie de conduit, élargissements, rétrécissements, vannes, clapets, robinets… Ils forment des incidents de parcours qui impactent l’écoulement d’une manière qui leur est propre. A leur passage, le fluide subit localement des accélérations, des décélérations, des compressions ou des dépressions… qui se traduisent par une transformation de l’énergie cinétique sous forme de chaleur : la perte de charge singulière. Ainsi, chaque accessoire est affecté d’un coefficient de perte de charge ξ (xi) adimensionnel, déterminé par le calcul ou expérimentalement, qui permet de calculer la perte de vitesse correspondante.

Tableau 5 : Exemples de valeurs de ξ pour différentes singularités

Coude arrondi

	R/Di	α=22,5°	α=30°	α=45°	α=60°	α=90°
	1	0,05	0,07	0,14	0,19	0,21
	2	0,05	0,06	0,10	0,12	0,14
	3	0,05	0,06	0,09	0,11	0,12
	4	0,05	0,06	0,08	0,10	0,11
	5	0,05	0,05	0,08	0,09	0,09

Vanne papillon

	α=0	α=10	α=20	α=30	α=45	α=60	α=70
	0,25	0,52	1,54	3,91	18,7	118	751

Entrées et sorties

	Entrée courbe	0,05		Entrée en saillie	1,00
	Entrée à angle droit	0,58		Sortie en gueule bée	1,00

Pour une même singularité, le coefficient ξ varie selon la courbure (pour les coudes, T et Y, entrée de conduit), selon le degré d’obturation (vannes, clapets, robinets…).

4.5. Pompe et hauteur manométrique

Les pompes volumétriques sont les plus adaptées pour remonter de l’eau sous pression à grand débit. A ce stade de la conception de la canalisation d’alimentation, les caractéristiques de la pompe ne sont pas une donnée de calcul. Bien au contraire, ce sont les calculs de la canalisation qui vont déterminer le choix de la pompe. En effet, la pompe doit permettre le débit volumique Q_v souhaité après qu’il soit ralenti par le poids et l’inertie de la masse d’eau sur la hauteur H à remonter et par les sources diverses de pertes de charge ΔH_T abordées plus tard. C’est à dire qu’il faut déterminer la hauteur manométrique H_m équivalente (fig. 12). Nous aborderons ce calcul au chapitre des bilans d’énergies. La pression H_m exprimée en mCE est donc toujours supérieure à la hauteur H exprimée en m. La pompe devra débiter Q_v à la hauteur H_m. C’est ce que la courbe caractéristique (abordée au 3ème chapitre de cet article) de la pompe permet de vérifier.

5. Données sur l’écoulement

5.1. Types d’écoulements : à surface libre ou en charge

Ecoulement à surface libre

L’écoulement est à surface libre lorsque la surface de l’eau est en contact avec l’air ambiant, à la pression atmosphérique. Il se produit par simple gravité, l’écoulement est alors conditionné par la pente ; c’est le cas des cours d’eau naturels ou d’irrigation, des égouts, des évacuations pluviales etc. Il s’agit en général d’écoulements dont la hauteur et la section sont petites par rapport à la longueur. Dans cette configuration, hors évènements dépendant du temps (météo) ou spatial (ressauts…), le régime est permanent (vitesse et hauteur d’eau constantes). L’écoulement est alors essentiellement laminaire… sauf dans le cas d’évacuations en pente, fréquentes en aquariophilie.

Ecoulement en charge

L’écoulement est en charge quand la conduite est pleine. On assiste à des frottements superficiels lesquels, absorbant l’énergie, deviennent prépondérants sur les forces de glissement et génèrent des turbulences. L’écoulement est conditionné par l’évolution de la pression. Il peut être gravitaire ou engendré par une pompe.

5.2. Débit souhaité

Débit volumique

Le débit est le quotient de la quantité de fluide qui traverse une section droite de la conduite par la durée de cet écoulement. En présence d’un fluide liquide, homogène et (quasiment) incompressible comme l’eau, la quantité de fluide est souvent exprimée en volume et non en masse. On parle alors de débit volumique Qv (formule 9), par opposition au débit massique. Dans le système international (S.I.), on l’exprime en mètre cube par seconde [m³.s^-1]. Pour des raisons pratiques, l’aquariophile utilise plutôt le litre par heure [l.h^-1].

Lorsque la vitesse de l’écoulement V est constante dans une section S perpendiculaire, le débit volumique peut s’exprimer en fonction de la vitesse et de la section (formule 10).

Tout se transforme… dans la continuité

L’équation de continuité est une base des calculs d’écoulement. C’est une forme de l’expression chère à Lavoisier "Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme." Elle traduit le fait que dans un court délai, la quantité de matière (de molécules) qui entre dans un volume (une cuve, un conduit, un tube…) est égale à celle qui en sort, plus celle qui s’y accumule le cas échéant. Considérant que notre eau, est incompressible (masse volumique constante), cette continuité s’applique aussi au volume d’eau (V₁ = V₂). Autrement dit, au débit volumique Q_v.

Prenons l’exemple (Fig. 13) d’un conduit de liquide (un tube de courant), continu dans lequel le fluide entre par un élément 1 et sort par un élément 2, de surfaces respectives S₁ et S₂ perpendiculaires au flux, avec des vitesses moyennes respectives V₁ et V₂.
Le débit d’entrée est égal au débit de sortie. Fort de ce constat nous obtenons la formule de continuité selon la formule 11. Cette dernière implique que si la section du tube augmente la vitesse diminue, et inversement :

Peut-on en conclure, dans régime permanent, avec une tuyauterie de section constante ou S₁ = S₂, que la vitesse moyenne serait constante avec V₁ = V₂ ? Oupelà ! N’allons pas trop vite avec la vitesse. L’équation de continuité vaut pour un petit déplacement durant un court instant Δt, dans un tube de courant, sans frictions ni frottement (fig. 12). Dans une canalisation il se produit des effets qui tendent à diminuer la vitesse, et que l’on abordera… sinon ce serait trop facile, et cet article n’aurait pas lieu d’être.

En connaissance des données essentielles, nous disposons à présent, de tous les éléments pour procéder au calcul (dimensionnement) de la canalisation. Ce sera l’objet de la deuxième partie de cet article.

Article publié sur Cap récifal le 30 janvier 2017

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